IMPORTANCIA DEL ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA EN EL CÁLCULO

Al centrarnos en el estudio de una de las ramas de las matemáticas como es el cálculo, tendremos que tomar en cuenta que se requiere obligatoriamente un conjunto de conocimientos previos sobre los cuales se construirá nuevos conocimientos. Entre estos conocimientos previos necesarios, una parte significativa de ellos pertenecen a los campos del álgebra y de la trigonometría. Por ello en la siguiente entrada hablaré de la importancia de estos dos campos para el cálculo. Y para entender mejor esto, es fundamental comprender los orígenes y propósitos por los cuales fueron creados estos campos matemáticos.

¿Cómo se originaron estos 3 campos?

Origen del cálculo diferencial e integral

El cálculo infinitesimal, o cálculo diferencial e integral, como también suele llamarse, se

desarrolló a lo largo de la historia de una manera similar al desarrollo de otras ramas de las

matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyó en

forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos,

ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo.

Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquímedes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueron los árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hasta que en el

Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica como metodología

para conocer e intentar explicar los fenómenos de la naturaleza. En esta etapa, la historia del

cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, el desarrollo

y la formalización

Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitos para

encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa de

desarrollo, Isaac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todas

estas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del siglo

XIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos en

términos de límite de funciones numéricas y sucesiones.

Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útiles para

explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía. Sus

desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica, el

electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc.

Origen del álgebra

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan.

El precursor del álgebra moderno fue Diofanto de Alejandría, matemático griego, quien publicó su gran obra "Ars magna" en la que se trataron de una forma rigurosa no solo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental designando la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos (número). Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería la teoría de ecuaciones.

Otro matemático ilustre fue Mohammed ibn-Musa Al-Jwarizmi, que vivió aproximadamente entre los años 780 y 850 y fue miembro de la Casa de la Sabiduría. a éste matemático, debemos el término de álgebra, que proviene del título del libro "Al-jabr w'al-muqabalah", que significa ciencia de la trasposición y la simplificación. 

Origen de la Trigonometría

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos, quién aparece 300 años después de la civilización griega.  El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. 

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. 

El occidente se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

¿Cuál es el propósito de la creación de estos campos matemáticos?

Propósito del cálculo 

El cálculo fue creado con algunos propósitos en mente, entre estos están:

• Medir el área bajo una curva
• Calcular la velocidad a la que se mueve un objeto en un instante dado
• Determinar la pendiente de una curva
• Encontrar el valor de la variable independiente en el que la variable dependiente tiene un valor máximo o mínimo local

Propósito del álgebra

Ahora bien, en el desarrollo de las matemáticas, el lenguaje algebraico ha sido herramienta fundamental, cuya aplicación es necesaria para facilitar el procedimiento en la solución de problemas.
Para facilitar el proceso se debe convertir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa, teniendo en cuenta que las operaciones fundamentales de adición (suma), sustracción (resta), multiplicación y división se expresan con palabras especiales tales como:

• Suma: Gana, aumenta, más, se incrementa, crece, etc.
• Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc.
• Multiplicación: Producto, dos veces, doble o duplo, triple, cuádruplo, etc.
• División: Dividido por, cociente, razón, mitad, tercera parte, semi, etc.

También en un problema algebraico la palabra “es”, “resulta”, “se obtiene” etc., es dada por el símbolo de la igualdad (=).
Como se observó, al trasladar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, se requiere el uso del alfabeto y los números, los cuales adquieren nombres especiales, como son:

• Literal. Se refiere a nombrar con una letra del alfabeto a una variable y sirven para representar números desconocidos.

• Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas.

Una expresión algebraica puede estar compuesta de:

Propósito de la trigonometría

La trigonometría es se pensó para ser utilizada donde se requiera medir con precisión y se aplique la geometría. Por ello esta es especial al estudio de las esferas dentro de la geometría espacial. Entre los usos más comunes de la trigonometría se encuentran la medición de distancias entre estrellas o entre puntos geográficos.

Aplicaciones del álgebra y de la trigonometría en el cálculo

Como observamos en el apartado anterior, se necesitaron muchos avances matemáticos, uno tras otro, para poder sentar las bases para descubrir el cálculo, y para resumirlo de una forma sencilla, tanto el álgebra como la trigonometría sirven dentro del cálculo diferencial e integral para:

• Álgebra: para escribir las funciones y manipularlas antes y después de derivar o integrar, que son los procesos propios del cálculo.
• Trigonometría: para plantear funciones relacionadas con ángulos.

Conclusiones

Tras todo lo anterior visto, es fácil observar que al igual que en una torre, sin una base en la cual establecerse, los conocimientos matemáticos no podrían avanzar. Ya que las innovaciones en la ciencia necesitan de algo de donde originarse. Tal como el caso del cálculo con las materias de álgebra y trigonometría.

Bibliografía

Equipo editorial. (2021). Trigonometría. Concepto. https://concepto.de/trigonometria/

Santamaría, T. N. E. (2012). Reseña Histórica. TRIGONOMETRÍA. http://matematicas10nubiasanta.blogspot.com/p/resena-historica.html

Ascencio, R. (2019). ¿Qué es el cálculo (diferencial e integral)? ¿Cómo puede un profesor de primaria o secundaria apoyar a sus alumnos para estar preparados para estudiarlo? IMPULSO MATEMÁTICO. https://impulsomatematico.com/2019/04/17/que-es-el-calculo-diferencial-e-integral-como-puede-un-profesor-de-primaria-o-secundaria-apoyar-a-sus-alumnos-para-estar-preparados-para-estudiarlo/#comments

ALGEBRA. (2012). ORIGENES DEL ALGEBRA. http://luzlujan21.blogspot.com/p/historia-la-historia-del-algebra.html